2014 年考研数学（二） 第 1 题

遇到“判断无穷小的阶”，最稳的做法是把每个量用等价无穷小折算成 $x^p$ 的形式，阶数就是指数 $p$。这里 ${\ln }^{\alpha }(1+2x)$ 折算出指数 $\alpha$，$(1-\cos x{)}^{1/\alpha }$ 折算出指数 $2/\alpha$；“比 $x$ 高阶”就是这两个指数都要 $>1$，一个给出 $\alpha >1$、一个给出 $\alpha <2$，交起来正好是区间 $(1,2)$。

本题考查无穷小阶的比较。 把两个量分别用等价无穷小写成 $x$ 的幂，再由“比 $x$ 高阶”要求幂指数大于 $1$。

因为 $\ln (1+2x)\sim 2x(x\to 0)$，所以 ${\ln }^{\alpha }(1+2x)\sim (2x{)}^{\alpha }=2^{\alpha }{x}^{\alpha }$，它是 $x$ 的 $\alpha$ 阶无穷小。要比 $x$ 高阶，需 $\alpha >1$。

因为 $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$，所以 $(1-\cos x{)}^{\frac{1}{\alpha }}\sim {\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^{\frac{1}{\alpha }}=2^{-\frac{1}{\alpha }}{x}^{\frac{2}{\alpha }}$，它是 $x$ 的 $\frac{2}{\alpha }$ 阶无穷小（此处需 $\alpha >0$）。要比 $x$ 高阶，需 $\frac{2}{\alpha }>1$，即 $\alpha <2$。

两个条件取交集得 $1<\alpha <2$，故应选 B。