2014 年考研数学（二） 第 22 题

$AB=E$ 里 $A$ 不是方阵（$3\times 4$），不能直接求逆，标准做法是“按列拆解”：$B$ 的第 $i$ 列 $X_i$ 满足 $A{X}_i=e_i$，于是问题化为三个共系数矩阵的非齐次方程组，用一个增广矩阵 $(A\mid E)$ 同步消元。由于 $r(A)=3<4$，每个方程组都有一维自由度，通解带一个任意常数 $k_i$，三列合起来就是带三个参数的解族——这也说明右逆 $B$ 不唯一。

本题考查齐次方程组的基础解系与矩阵方程 $AB=E$ 的求解。 $A$ 是 $3\times 4$ 矩阵，$B$ 为 $4\times 3$。

（Ⅰ） 对 $A$ 作行初等变换化为行最简形：
$$A\to \left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -4\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 4& -3& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -4\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 1& -3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& -2\\ 0& 0& 1& -3\end{array}\right).$$
$r(A)=3$，自由未知量为 $x_4$。取 $x_4=1$ 得 $x_1=-1,x_2=2,x_3=3$，故基础解系为 $\xi =(-1,2,3,1{)}^T$。

（Ⅱ） 将 $B$ 按列分块 $B=(X_1,X_2,X_3)$，$E=(e_1,e_2,e_3)$，则 $AB=E$ 等价于三个非齐次方程组 $A{X}_i=e_i(i=1,2,3)$。对增广矩阵 $(A\mid E)$ 行变换：
$$(A\mid E)\to \left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 1& 2& 6& -1\\ 0& 1& 0& -2& -1& -3& 1\\ 0& 0& 1& -3& -1& -4& 1\end{array}\right).$$

由此各方程组的通解（通解 = 齐次通解 $k_i\xi$ + 特解）为
$$X_1=k_1\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 3\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\\ 0\end{array}\right),X_2=k_2\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 3\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -4\\ 0\end{array}\right),X_3=k_3\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 3\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right).$$

合并成矩阵，得满足 $AB=E$ 的所有 $B$：
$$B=\left(\begin{array}{ccc}-k_1+2& -k_2+6& -k_3-1\\ 2k_1-1& 2k_2-3& 2k_3+1\\ 3k_1-1& 3k_2-4& 3k_3+1\\ k_1& k_2& k_3\end{array}\right),k_1,k_2,k_3\text{ 为任意常数}.$$