2014 年考研数学（二） 第 21 题

两步走：先“反解 $f$”，再“求体积”。由偏导反求原函数时，积分常数要写成另一变量的函数 $\phi (x)$，再用 $f(y,y)$ 这条“对角线信息”把 $\phi$ 钉死。得到曲线 $(y+1{)}^2=(2-x)\ln x$ 后，注意它关于旋转轴 $y=-1$ 天然对称——正因如此，绕 $y=-1$ 旋转直接用圆盘法 $\pi \int (y+1{)}^{2}dx$，把 $(y+1{)}^2$ 换成 $(2-x)\ln x$，一个分部积分收尾。

本题考查由偏导数还原二元函数，再用定积分求旋转体体积。 先把 $f(x,y)$ 求出来。

由 $\frac{\partial f}{\partial y}=2(y+1)$，对 $y$ 积分（$x$ 视为常数）得 $f(x,y)=(y+1{)}^2+\phi (x)$，其中 $\phi (x)$ 为待定函数。令 $x=y$：$f(y,y)=(y+1{)}^2+\phi (y)$。与已知 $f(y,y)=(y+1{)}^2-(2-y)\ln y$ 比较得 $\phi (y)=-(2-y)\ln y=(y-2)\ln y$，故
$$f(x,y)=(y+1{)}^2+(x-2)\ln x.$$

曲线 $f(x,y)=0$ 即 $(y+1{)}^2=(2-x)\ln x$。当 $x\in [1,2]$ 时 $\ln x\ge 0$、$2-x\ge 0$，右端 $\ge 0$ 有意义；在 $x=1$ 与 $x=2$ 处 $(y+1{)}^2=0$（曲线在此收口于 $y=-1$）。该曲线关于直线 $y=-1$ 上下对称，围成一个闭合区域。

绕 $y=-1$ 旋转：以到旋转轴的距离 $|y+1|$ 为半径，由圆盘法，体积
$$V=\pi {\int }_1^2(y+1{)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2(2-x)\ln xdx.$$

分部积分：取 $u=\ln x,dv=(2-x)dx,v=2x-\frac{x^2}{2}$，
$$\int (2-x)\ln xdx=\left(2x-\frac{x^2}{2}\right)\ln x-\int \left(2-\frac{x}{2}\right)dx=\left(2x-\frac{x^2}{2}\right)\ln x-\left(2x-\frac{x^2}{4}\right).$$
代入上下限：$x=2$ 得 $2\ln 2-3$，$x=1$ 得 $-\frac{7}{4}$，相减得 ${\int }_1^2(2-x)\ln xdx=2\ln 2-\frac{5}{4}$。

所以 $V=\left(2\ln 2-\frac{5}{4}\right)\pi$。