2014 年考研数学（二） 第 20 题

复合迭代 $f_n=f\circ f_{n-1}$ 看着吓人，先动手算前两三项，$\frac{x}{1+x}\to \frac{x}{1+2x}\to \frac{x}{1+3x}$ 规律一目了然，归纳锁定 $f_n=\frac{x}{1+nx}$。面积就是它在 $[0,1]$ 的定积分，被积函数拆成 $\frac{1}{n}(1-\frac{1}{1+nx})$ 后积出 $\ln$。最后 $n{S}_n=1-\frac{\ln (1+n)}{n}$，对数比一次幂增长慢，第二项趋零，极限为 $1$。

本题考查函数迭代的归纳、定积分求面积与数列极限。 先用归纳法求出 $f_n$ 的表达式。

由 $f_2(x)=\frac{f_1}{1+f_1}=\frac{\frac{x}{1+x}}{1+\frac{x}{1+x}}=\frac{x}{1+2x}$，$f_3(x)=\frac{f_2}{1+f_2}=\frac{x}{1+3x}$，归纳可得
$$f_n(x)=\frac{x}{1+nx}.$$（可对 $n$ 归纳：若 $f_n=\frac{x}{1+nx}$，则 $f_{n+1}=\frac{f_n}{1+f_n}=\frac{x}{1+(n+1)x}$。）

在 $[0,1]$ 上 $f_n(x)\ge 0$，故
$$S_n={\int }_0^1{f}_n(x)dx={\int }_0^1\frac{x}{1+nx}dx=\frac{1}{n}{\int }_0^1\left(1-\frac{1}{1+nx}\right)dx=\frac{1}{n}{\left[x-\frac{1}{n}\ln (1+nx)\right]}_0^1.$$

即 $S_n=\frac{1}{n}-\frac{\ln (1+n)}{n^2}$。于是
$$n{S}_n=1-\frac{\ln (1+n)}{n}.$$

因为 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\ln (1+n)}{n}=0$，所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_n=1$。