2014 年考研数学（二） 第 19 题

证“关于区间上限 $b$ 的积分不等式”，通用套路是“把 $b$ 换成变量 $x$，构造差函数 $\phi (x)$，证它单调”。（Ⅰ）为（Ⅱ）铺路：它给出关键估计 $a+{\int }_a^{x}g\le x$，正是让 $f$ 的单调性发挥作用的入口。求导时第二个积分的上限含 ${\int }_a^{x}g$，链式法则贡献一个 $g(x)$，配合 $f(x)-f(a+{\int }_a^{x}g)\ge 0$ 使 ${\phi }^{\prime }\ge 0$；由 $\phi (a)=0$ 得 $\phi (b)\ge 0$ 收官。

本题考查用变限积分构造辅助函数、并借助单调性证明积分不等式。

（Ⅰ） 由 $0\le g(t)\le 1$，对 $t$ 从 $a$ 到 $x$（$x\in [a,b]$）积分，积分保持不等号方向：
$${\int }_a^{x}0dt\le {\int }_a^{x}g(t)dt\le {\int }_a^{x}1dt,\text{即}0\le {\int }_a^{x}g(t)dt\le x-a.$$

（Ⅱ） 记 $G(x)={\int }_a^{x}g(t)dt$，并构造辅助函数
$$\phi (x)={\int }_a^{x}f(u)g(u)du-{\int }_a^{a+G(x)}f(u)du,x\in [a,b].$$
显然 $\phi (a)=0$。因 $f,g$ 连续，$\phi$ 可导，对第二项用变限积分求导（上限为 $a+G(x)$，$G^{\prime }(x)=g(x)$）：
$${\phi }^{\prime }(x)=f(x)g(x)-f(a+G(x))\cdot g(x)=g(x)[f(x)-f(a+G(x)\left)\right].$$

由（Ⅰ）有 $G(x)\le x-a$，即 $a+G(x)\le x$。又 $f$ 单调增加，故 $f(a+G(x))\le f(x)$，从而 $f(x)-f(a+G(x))\ge 0$。再结合 $g(x)\ge 0$，得 ${\phi }^{\prime }(x)\ge 0$，即 $\phi$ 在 $[a,b]$ 上单调不减。

于是 $\phi (b)\ge \phi (a)=0$，即
$${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx-{\int }_a^{a+{\int }_a^{b}g(t)dt}f(x)dx\ge 0,$$
也就是 ${\int }_a^{a+{\int }_a^{b}g(t)dt}f(x)dx\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$。证毕。