2014 年考研数学（二） 第 23 题

证两矩阵相似，最常用的判据是“特征值相同 + 都可对角化 $\Rightarrow$ 相似于同一对角阵 $\Rightarrow$ 彼此相似”。两个矩阵都是秩 $1$，特征值极易求：非零特征值等于迹（都为 $n$），其余全是 $0$。关键的第二步是对角化验证——注意“特征值相同”本身不保证相似（可能一个可对角化、另一个不能）。全 $1$ 矩阵靠实对称立即过关；另一矩阵靠 $0$ 特征值的几何重数 $n-r(B)=n-1$ 补齐代数重数来过关。

本题考查矩阵相似的判定：特征值相同且都可对角化 $\Rightarrow$ 相似。 记 $A$ 为全 $1$ 矩阵，$B$ 为仅最后一列为 $(1,2,\cdots ,n{)}^T$、其余元素全为 $0$ 的矩阵。

求 $A$ 的特征值： $A$ 的秩为 $1$，迹 $\mathrm{tr}(A)=n$。由 $|\lambda E-A|=0$ 得特征值 ${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_{n-1}=0,{\lambda }_n=n$（$0$ 是 $n-1$ 重，非零特征值等于迹 $n$）。

求 $B$ 的特征值： $B$ 是上三角形（除最后一列外全为 $0$），主对角线元素为 $0,0,\cdots ,0,n$，故特征值同样是 ${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_{n-1}=0,{\lambda }_n=n$。所以 $A,B$ 特征值完全相同。

说明两者都可对角化： $A$ 是实对称矩阵，必可对角化。对 $B$，特征值 $0$ 的重数为 $n-1$，而 $r(0\cdot E-B)=r(B)=1$，故属于 $0$ 的线性无关特征向量有 $n-r(B)=n-1$ 个，恰等于其代数重数；非零单特征值 $n$ 自然有 $1$ 个特征向量，因此 $B$ 也可对角化。

结论： $A$ 与 $B$ 均可对角化且相似于同一对角阵 $\mathrm{diag}(0,\cdots ,0,n)$，即存在可逆阵 $P_1,P_2$ 使 $P_1^{-1}A{P}_1=\Lambda =P_2^{-1}B{P}_2$，于是 $(P_1{P}_2^{-1}{)}^{-1}A(P_1{P}_2^{-1})=B$。故 $A\sim B$。证毕。