2013 年考研数学（二） 第 9 题

$1^{\infty }$ 型极限的标准套路：$\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$（因 $\ln u\sim u-1$）。本题化到指数上的极限是 $\frac{x-\ln (1+x)}{x^2}$，关键近似 $\ln (1+x)\approx x-\frac{x^2}{2}$ 把分子的二阶项挖出来，得到 $\frac{1}{2}$，故答案 $e^{1/2}$。凡是「$2-\frac{\ln (1+x)}{x}$」这类底数，先看它趋于 $1$ 就锁定 $1^{\infty }$。

本题考查 $1^{\infty }$ 型极限。 底数 $2-\frac{\ln (1+x)}{x}\to 2-1=1$，指数 $\frac{1}{x}\to \infty$，是 $1^{\infty }$ 未定式，用 $\lim =e^{\lim (\text{底}-1)\cdot \text{指}}$。

记底数减一：$\left[2-\frac{\ln (1+x)}{x}\right]-1=1-\frac{\ln (1+x)}{x}=\frac{x-\ln (1+x)}{x}$。

于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }{\left[2-\frac{\ln (1+x)}{x}\right]}^{\frac{1}{x}}=\exp \left[\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\cdot \frac{x-\ln (1+x)}{x}\right]=\exp \left[\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\ln (1+x)}{x^2}\right].$$

用 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，得 $x-\ln (1+x)=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，故 ${\lim }_{x\to 0}\frac{x-\ln (1+x)}{x^2}=\frac{1}{2}$。因此原极限 $=e^{\frac{1}{2}}$。