2013 年考研数学（二） 第 8 题

两边都是实对称矩阵时，相似的判定被大大简化：只需特征值相同（因为实对称矩阵都正交相似于对角阵）。于是把「相似」问题转成「$A$ 的特征值等于 $2,b,0$」。选一个已知特征值 $2$ 代入 $|2E-A|=0$ 解出 $a=0$，再回代确认 $0$、$b$ 也是特征值即可。注意 $b$ 在两边都出现且不受约束，故 $b$ 任意。

本题考查实对称矩阵的相似判定。 记 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& b& a\\ 1& a& 1\end{array}\right)$，$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。二者都是实对称矩阵，实对称矩阵相似 $\iff$ 特征值相同，故只需 $A$ 的特征值恰为 $2,b,0$。

$\Lambda$ 的特征值为 $2,b,0$，其中 $2$ 与 $0$ 必须是 $A$ 的特征值。要求 $2$ 是 $A$ 的特征值，即 $|2E-A|=0$：
$$|2E-A|=\left|\begin{array}{ccc}1& -a& -1\\ -a& 2-b& -a\\ -1& -a& 1\end{array}\right|=-4a^2.$$
令 $-4a^2=0$ 得 $a=0$。

当 $a=0$ 时 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& b& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$，其特征值为 $2,b,0$（$x^2+y^2$ 型的角块特征值为 $0,2$，中间块给出 $b$），恰与 $\Lambda$ 一致，此时对任意 $b$ 均相似。

故充分必要条件为 $a=0$、$b$ 为任意常数。故选 B。