2013 年考研数学（二） 第 7 题

矩阵乘法有两把「钥匙」：$AB$ 的列 $=A$ 的列的组合（右乘管列），$AB$ 的行 $=B$ 的行的组合（左乘管行）。本题 $AB=C$ 是右乘，直接得到列向量组的单向表示；再靠 $B$ 可逆把关系倒过来 $A=C{B}^{-1}$，凑成互相表示即「等价」。看到「等价」就要往「互相线性表示」上靠，而可逆矩阵正是提供反向表示的工具。

本题考查矩阵乘法的列向量解释与向量组等价。 关键结论：$AB=C$ 表示 $C$ 的每个列向量都是 $A$ 的列向量的线性组合。

记 $A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$、$C=({\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n)$，$B=(b_{ij})$。由 $AB=C$ 得 ${\gamma }_j=b_{1j}{\alpha }_1+b_{2j}{\alpha }_2+\cdots +b_{nj}{\alpha }_n$，即 $C$ 的列向量组可由 $A$ 的列向量组线性表示。

又 $B$ 可逆，$AB=C\Rightarrow A=C{B}^{-1}$，同理 $A$ 的列向量组也可由 $C$ 的列向量组线性表示。二者互相线性表示，故 $C$ 的列向量组与 $A$ 的列向量组等价。故选 B。

注：$AB=C$ 是「$A$ 右乘 $B$」，只对列做组合，对行没有这种直接关系，故 A、C、D 都不成立。