2013 年考研数学（二） 第 6 题

二重积分比大小/判符号，第一反应是对称性：若区域关于某直线对称、被积函数在该对称下变号，则积分为零。这里 $y=x$ 对称把 $y-x$ 变为 $x-y$，直接判掉 $I_1=I_3=0$。剩下 $D_2,D_4$ 不在对称轴两侧配对，只能看被积函数符号：$D_2$ 里 $y-x=y+(-x)\ge 0$ 故正，$D_4$ 里 $\le 0$ 故负。

本题考查二重积分的对称性。 被积函数 $y-x$ 是奇性组合，利用区域相对于直线 $y=x$ 的对称性判断符号。

$D_1$（第一象限四分之一圆）关于直线 $y=x$ 对称，把 $x,y$ 互换积分值不变，得 $I_1={\iint }_{D_1}(y-x)dxdy={\iint }_{D_1}(x-y)dxdy$，两式相加得 $2I_1=0$，故 $I_1=0$。同理 $D_3$ 也关于 $y=x$ 对称，$I_3=0$。排除 A、C。

考察 $D_2$（第二象限，$x\le 0,y\ge 0$）：此处 $y\ge 0$、$-x\ge 0$，故 $y-x=y+(-x)\ge 0$ 且不恒为零，于是 $I_2={\iint }_{D_2}(y-x)dxdy>0$。

考察 $D_4$（第四象限，$x\ge 0,y\le 0$）：此处 $y\le 0$、$-x\le 0$，故 $y-x=y+(-x)\le 0$，于是 $I_4<0$。综上只有 $I_2>0$，故选 B。