2013 年考研数学（二） 第 5 题

抽象函数 $f(xy)$ 求偏导，核心是链式法则「先对整体 $f^{\prime }$，再乘内层对该变量的偏导」——对 $x$ 乘 $y$，对 $y$ 乘 $x$。本题把结果代入指定组合后，两个 $\pm \frac{1}{x}f(xy)$ 项相消，只剩 $2y{f}^{\prime }(xy)$；这种「含 $f$ 的项抵消、只留含 $f^{\prime }$ 的项」是选择题里常见的干净结构，也提示答案不含 $f$ 只含 $f^{\prime }$，可先排除 C、D。

本题考查多元复合函数（含抽象函数 $f$）求偏导。 把 $z=\frac{y}{x}f(xy)$ 看作乘积，逐项用乘法与链式法则。

对 $x$ 求偏导（$y$ 视为常数，$\frac{\partial }{\partial x}f(xy)=f^{\prime }(xy)\cdot y$）：
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}f(xy)+\frac{y}{x}\cdot y{f}^{\prime }(xy)=-\frac{y}{x^2}f(xy)+\frac{y^2}{x}{f}^{\prime }(xy).$$

对 $y$ 求偏导（$x$ 视为常数，$\frac{\partial }{\partial y}f(xy)=f^{\prime }(xy)\cdot x$）：
$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{x}f(xy)+\frac{y}{x}\cdot x{f}^{\prime }(xy)=\frac{1}{x}f(xy)+y{f}^{\prime }(xy).$$

代入所求组合：
$$\frac{x}{y}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x}{y}\left[-\frac{y}{x^2}f+\frac{y^2}{x}{f}^{\prime }\right]+\frac{1}{x}f+y{f}^{\prime }=-\frac{1}{x}f+y{f}^{\prime }+\frac{1}{x}f+y{f}^{\prime }=2y{f}^{\prime }(xy).$$
故选 A。