2013 年考研数学（二） 第 4 题

含参反常积分求收敛范围，先按「瑕点 / 无穷限」把积分拆段，每段套用 $p$ 积分的判别法：瑕积分 ${\int }_a\frac{dx}{(x-a{)}^p}$ 收敛要 $p<1$，无穷限 ${\int }^{+\infty }\frac{dx}{x^p}$ 收敛要 $p>1$。本题两段分别给出 $\alpha <2$ 与 $\alpha >0$，取交集即 $0<\alpha <2$。第二段的 $t=\ln x$ 换元是识别对数幂积分的关键动作。

本题考查反常积分收敛性的判别。 把积分拆成两段，两段都收敛才收敛：
$${\int }_1^{+\infty }f(x)dx={\int }_1^e\frac{dx}{(x-1{)}^{\alpha -1}}+{\int }_e^{+\infty }\frac{dx}{x{\ln }^{\alpha +1}x}.$$

第一段是瑕积分，瑕点在 $x=1$。由 ${\int }_1^e\frac{dx}{(x-1{)}^{\alpha -1}}$ 收敛的条件（${\int }_a\frac{dx}{(x-a{)}^p}$ 收敛 $\iff p<1$）得 $\alpha -1<1$，即 $\alpha <2$。

第二段令 $t=\ln x$，$dt=\frac{dx}{x}$，化为 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dt}{t^{\alpha +1}}$。由无穷限积分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{dt}{t^p}$ 收敛 $\iff p>1$，得 $\alpha +1>1$，即 $\alpha >0$。

两段同时收敛要求 $0<\alpha <2$。故选 D。