2013 年考研数学（二） 第 3 题

关键概念：变限积分是「积分上限函数」，只要被积函数可积，$F$ 一定连续（比 $f$ 光滑一级），所以间断点选项直接排除。而 $F$ 在某点可导 $\iff$ $f$ 在该点左右极限相等（此时 $F^{\prime }=f$）。$f$ 在 $x=\pi$ 有跳跃（$0$ 跳到 $2$），左右导数不等，故 $F$ 连续但不可导。

本题考查变限积分的连续性与可导性。 $f$ 在 $[0,2\pi ]$ 上有界且只有一个跳跃间断点，故可积，从而 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ 处处连续（变限积分把可积函数变成连续函数）。因此 A、B 排除。

写出 $F(x)$ 在 $x=\pi$ 附近的表达式：当 $x<\pi$ 时 $F(x)={\int }_0^x\sin tdt=1-\cos x$；当 $x\ge \pi$ 时 $F(x)={\int }_0^{\pi }\sin tdt+{\int }_{\pi }^{x}2dt=2+2(x-\pi )$。二者在 $x=\pi$ 都取值 $2$，连续。

求单侧导数：
$$F_{-}^{\prime }(\pi )=(1-\cos x{)}^{\prime }{|}_{x=\pi }=\sin \pi =0,F_{+}^{\prime }(\pi )=(2+2(x-\pi ){)}^{\prime }{|}_{x=\pi }=2.$$
（其实这正是 ${\lim }_{x\to {\pi }^{-}}f(x)=0$ 与 ${\lim }_{x\to {\pi }^{+}}f(x)=2$。）

因 $F_{-}^{\prime }(\pi )=0\ne 2=F_{+}^{\prime }(\pi )$，故 $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处连续但不可导。故选 C。