2013 年考研数学（二） 第 2 题

看到 $n\left[f(\frac{2}{n})-1\right]$ 这种「$n\to \infty$、自变量趋于某点」的结构，几乎一定是导数定义的伪装：把 $2/n$ 当增量凑成差商即可。前置工作是隐函数求导——先由方程定出 $f(0)=1$，再两端对 $x$ 求导代点得 $f^{\prime }(0)=1$，最后极限 $=2f^{\prime }(0)=2$。

本题考查隐函数求导与导数定义的结合。 先由方程定出 $f(0)$，再把所求极限化为导数定义。

令 $x=0$ 代入方程：$\cos 0+\ln y-0=1$，即 $1+\ln y=1$，得 $y=1$，故 $f(0)=1$。

对方程两端关于 $x$ 求导（$y=y(x)$）：
$$-\sin (xy)(y+x{y}^{\prime })+\frac{1}{y}{y}^{\prime }-1=0.$$
将 $x=0,y=1$ 代入：$-\sin 0\cdot (1+0)+y^{\prime }-1=0$，得 $f^{\prime }(0)=y^{\prime }{|}_{x=0}=1$。

注意 $\frac{2}{n}\to 0$，用导数定义：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left[f\left(\frac{2}{n}\right)-1\right]=\underset{n\to \infty }{\lim }2\cdot \frac{f\left(\frac{2}{n}\right)-f(0)}{\frac{2}{n}}=2f^{\prime }(0)=2.$$
故选 A。