2013 年考研数学（二） 第 1 题

判断两个无穷小的阶，标准动作是求比值极限：$\to 0$ 为高阶，$\to \infty$ 为低阶，$\to$ 非零常数为同阶，$\to 1$ 才是等价。本题先由等式解出 $\sin \alpha (x)$，再借 $\sin \alpha \sim \alpha$ 把 $\alpha (x)$ 换成好算的 $\frac{\cos x-1}{x}$，比值极限得 $-\frac{1}{2}$，是非零常数但不等于 $1$，所以「同阶不等价」。

本题考查无穷小的阶与等价无穷小的判定。 判断 $\alpha (x)$ 与 $x$ 的阶关系，只需求比值极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\alpha (x)}{x}$。

由等式解出 $\sin \alpha (x)=\frac{\cos x-1}{x}$。当 $x\to 0$ 时右端 $\frac{\cos x-1}{x}\sim -\frac{x}{2}\to 0$，又 $|\alpha (x)|<\frac{\pi }{2}$，故 $\alpha (x)\to 0$，从而 $\sin \alpha (x)\sim \alpha (x)$。

于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\alpha (x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \alpha (x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac{1}{2}.$$

比值极限为非零常数 $-\frac{1}{2}$（不是 $0$、不是 $\infty$、也不是 $1$），故 $\alpha (x)$ 与 $x$ 同阶但不等价。故选 C。