2013 年考研数学（二） 第 10 题

反函数在某点求导，先把「$y=$ 值」翻译成「$x=$ 值」，再用 $\frac{dx}{dy}=1/f^{\prime }(x)$。本题的巧点是 $y=0$：变限积分为零当且仅当上限回到下限 $-1$，一步定出 $x=-1$，避免真去积分。然后 $f^{\prime }=\sqrt{1-e^x}$ 由基本定理直接读出，代点取倒数即可。

本题考查变限积分求导与反函数求导法则。 反函数导数满足 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$，需先定出 $y=0$ 对应的 $x$。

当 $y=0$ 时 $f(x)={\int }_{-1}^x\sqrt{1-e^t}dt=0$，积分下限上限相同，故 $x=-1$。

由微积分基本定理，$f^{\prime }(x)=\sqrt{1-e^x}$，故 $f^{\prime }(-1)=\sqrt{1-e^{-1}}$。

由反函数求导法则：
$$\frac{dx}{dy}{|}_{y=0}=\frac{1}{f^{\prime }(-1)}=\frac{1}{\sqrt{1-e^{-1}}}.$$