2013 年考研数学（二） 第 11 题

极坐标求面积别去化直角坐标，直接上 $A=\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta$。本题 $r^2={\cos }^{2}3\theta$，换元 $u=3\theta$ 把它变成标准的 ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}udu=\frac{\pi }{4}$（记住这个常用值），再配上换元带来的 $\frac{1}{3}$ 与角度收缩，得 $\frac{\pi }{12}$。注意 $\theta$ 范围恰好让 $r\ge 0$ 且曲线闭合成一个花瓣。

本题考查极坐标下的面积公式。 极坐标曲线所围面积 $A=\frac{1}{2}{\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}{r}^2(\theta )d\theta$。

代入 $r=\cos 3\theta$，$\theta \in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right]$：
$$A=\frac{1}{2}{\int }_{-\pi /6}^{\pi /6}{\cos }^{2}3\theta d\theta ={\int }_0^{\pi /6}{\cos }^{2}3\theta d\theta ,$$
其中用了被积函数为偶函数，区间对称化为 $2$ 倍的 $[0,\pi /6]$ 积分再约掉 $\frac{1}{2}$。

令 $u=3\theta$，$du=3d\theta$，当 $\theta :0\to \pi /6$ 时 $u:0\to \pi /2$：
$$A=\frac{1}{3}{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}udu=\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{12}.$$
（这里用了 ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}udu=\frac{\pi }{4}$。）