2013 年考研数学（二） 第 12 题

参数曲线求切/法线，三步走：代 $t$ 定点、$\frac{dy}{dx}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$ 求切斜率、法线取负倒数。本题化简后 $\frac{dy}{dx}=t$ 特别干净，$t=1$ 处切斜率为 $1$、法线斜率为 $-1$。注意 $y_0=\ln \sqrt{2}$ 保留根号写法与答案一致，最后用点斜式并整理成一般式。

本题考查参数方程求导与法线方程。 先定点，再用 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ 求切线斜率，法线斜率取其负倒数。

当 $t=1$：$x_0=\arctan 1=\frac{\pi }{4}$，$y_0=\ln \sqrt{1+1}=\ln \sqrt{2}$，即点 $M_0\left(\frac{\pi }{4},\ln \sqrt{2}\right)$。

求导：$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^2}$，$\frac{dy}{dt}=\frac{t}{1+t^2}$，故 $\frac{dy}{dx}=\frac{t/(1+t^2)}{1/(1+t^2)}=t$。在 $t=1$ 处切线斜率 $=1$，故法线斜率 $k=-1$。

法线方程：$y-\ln \sqrt{2}=-\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$，整理得 $x+y-\frac{\pi }{4}-\ln \sqrt{2}=0$。