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2013 年考研数学（二）第 13 题

填空题 · 4 分

已知

y_{1} = e^{3 x} - x e^{2 x}

，

y_{2} = e^{x} - x e^{2 x}

，

y_{3} = - x e^{2 x}

是某二阶常系数非齐次线性微分方程的

3

个解，则该方程满足条件

y_{x = 0} = 0, y^{'}_{x = 0} = 1

的解为

y =

___。

提示 1

非齐次方程「解之差」是齐次方程的解：算

y_{1} - y_{3}

、

y_{2} - y_{3}

。

提示 2

这两个差

e^{3 x}

、

e^{x}

给出特征根

1, 3

，从而齐次通解为

C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3 x}

，特解取

y_{3} = - x e^{2 x}

。

提示 3

把通解

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3 x} - x e^{2 x}

代入

y (0) = 0, y^{'} (0) = 1

解出

C_{1}, C_{2}

。

答案与详解

答案 $- e^{x} + e^{3 x} - x e^{2 x}$

思路（为什么这么做）

给出非齐次方程的几个解、反求满足初值的解，核心武器是「解的结构」：非齐次两解相减得到齐次解。这里

y_{1} - y_{3} = e^{3 x}

、

y_{2} - y_{3} = e^{x}

暴露了特征根

1, 3

，同时

y_{3}

本身就是现成特解。拼出通解

C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3 x} - x e^{2 x}

后代初值即可，无需知道方程右端到底是什么。

解答

本题考查线性微分方程解的结构。 非齐次方程两解之差是对应齐次方程的解，据此反推齐次通解与特解。

作差：

y_{1} - y_{3} = e^{3 x}

，

y_{2} - y_{3} = e^{x}

，它们是对应齐次方程

y^{''} + p y^{'} + q y = 0

的两个线性无关解，故特征根为

λ_{1} = 1, λ_{2} = 3

。

于是该非齐次方程的通解为

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3 x} - x e^{2 x}

（

- x e^{2 x} = y_{3}

是一个特解）。

代入初值：

y (0) = C_{1} + C_{2} = 0

；

y^{'} = C_{1} e^{x} + 3 C_{2} e^{3 x} - e^{2 x} - 2 x e^{2 x}

，

y^{'} (0) = C_{1} + 3 C_{2} - 1 = 1

。解得

C_{1} = - 1, C_{2} = 1

。故所求解为

y = - e^{x} + e^{3 x} - x e^{2 x}

。

考点：常系数非齐次线性微分方程、高阶线性微分方程解的结构

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