2013 年考研数学（二） 第 14 题

凡出现「代数余子式 $A_{ij}$ / 伴随 $A^{\ast }$」，两个杀手锏是 $A{A}^{\ast }=|A|E$（含 $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$）和「某行元素乘自己的代数余子式之和 $=|A|$」。本题先用 $A^T=-A^{\ast }$ 取行列式得 $|A|=-|A{|}^2$，再用行展开式 $|A|=-\sum a_{1j}^2<0$ 判号，联合排除 $|A|=0$，锁定 $-1$。非零条件正是用来排除平凡解的。

本题考查代数余子式、伴随矩阵与行列式的关系。 条件 $A_{ij}=-a_{ij}$ 把伴随矩阵与 $A$ 联系起来。

由 $A_{ij}=-a_{ij}$ 及伴随矩阵定义 $A^{\ast }=(A_{ij}{)}^T$，得 $A^{\ast }=-A^T$，即 $A^T=-A^{\ast }$。两边取行列式：
$$|A^T|=|-A^{\ast }|=(-1{)}^3|A^{\ast }|=-|A{|}^{3-1}=-|A{|}^2.$$
而 $|A^T|=|A|$，故 $|A|=-|A{|}^2$，即 $|A{|}^2+|A|=0$，解得 $|A|=0$ 或 $|A|=-1$。

再用 $A$ 为非零矩阵排除 $|A|=0$：因 $A\ne O$，不妨设 $a_{11}\ne 0$。按第一行展开
$$|A|=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13}=-(a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2)<0,$$
即 $|A|<0$，故舍去 $0$。

因此 $|A|=-1$。