2013 年考研数学（二） 第 15 题

求「某无穷小 $\sim a{x}^n$」，本质是找它的最低次非零项。多个 $\cos kx$ 连乘，用 $\cos kx\approx 1-\frac{k^2}{2}{x}^2$ 展开后相乘，$x^2$ 系数就是各 $\frac{k^2}{2}$ 之和（因为常数项都是 $1$，交叉的更高次可丢）。$\frac{1+4+9}{2}=7$，故 $1-\prod \cos \sim 7x^2$。这种「$1-\prod \cos$」题型，系数总是 $\frac{1}{2}\sum k^2$。

本题考查无穷小的阶与等价无穷小（麦克劳林展开）。 要使 $1-\cos x\cos 2x\cos 3x\sim a{x}^n$，只需展开出最低次非零项，其次数即 $n$、系数即 $a$。

由麦克劳林公式 $\cos kx=1-\frac{(kx{)}^2}{2}+o(x^2)$：
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2),\cos 2x=1-\frac{4x^2}{2}+o(x^2),\cos 3x=1-\frac{9x^2}{2}+o(x^2).$$

三者相乘，只保留到 $x^2$：
$$\cos x\cos 2x\cos 3x=1-\frac{1+4+9}{2}{x}^2+o(x^2)=1-7x^2+o(x^2).$$

于是 $1-\cos x\cos 2x\cos 3x=7x^2+o(x^2)\sim 7x^2(x\to 0)$。对照 $a{x}^n$ 得 $\boxed{n=2,a=7}$。