2013 年考研数学（二） 第 16 题

旋转体两法要记牢：绕 $x$ 轴圆盘 $\pi \int y^{2}dx$、绕 $y$ 轴柱壳 $2\pi \int xydx$（都用同一 $x$ 积分，避免解反函数）。两个体积都是 $a$ 的幂，$V_y=10V_x$ 相除后幂次相消只剩 $a^{2/3}=7$，一步解出。看到 $y=x^{1/3}$ 这类幂函数、又要两个方向的体积，柱壳法能统一用 $x$ 积分，最省事。

本题考查旋转体体积（圆盘法与柱壳法）。 $D$ 为 $0\le x\le a,0\le y\le x^{1/3}$。

绕 $x$ 轴用圆盘法：
$$V_x=\pi {\int }_0^a{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^a{x}^{2/3}dx=\pi \cdot \frac{3}{5}{x}^{5/3}{|}_0^a=\frac{3\pi }{5}{a}^{5/3}.$$

绕 $y$ 轴用柱壳法：
$$V_y=2\pi {\int }_0^{a}xydx=2\pi {\int }_0^{a}x\cdot x^{1/3}dx=2\pi {\int }_0^a{x}^{4/3}dx=2\pi \cdot \frac{3}{7}{a}^{7/3}=\frac{6\pi }{7}{a}^{7/3}.$$

由 $V_y=10V_x$：
$$\frac{6\pi }{7}{a}^{7/3}=10\cdot \frac{3\pi }{5}{a}^{5/3}=6\pi a^{5/3}\Rightarrow \frac{a^{7/3}}{a^{5/3}}=7\Rightarrow a^{2/3}=7\Rightarrow a=7^{3/2}=7\sqrt{7}.$$