2013 年考研数学（二） 第 17 题

三条直线围的区域，先解两两交点看清形状。被积函数 $x^2$ 只含 $x$，选「先 $y$ 后 $x$」最省：内层积分就是 $x^2\times (\text{上界}-\text{下界})$。难点只在上界换线（$x=2$ 处 $3x$ 与 $8-x$ 相交），据此把 $x$ 拆成两段。分块积分是处理「边界折线」的通用手段。

本题考查直角坐标下二重积分的计算（分块积分）。 先求三条直线的交点确定区域。

交点：$y=3x$ 与 $x+y=8$ 交于 $(2,6)$；$x=3y$ 与 $x+y=8$ 交于 $(6,2)$；两直线 $y=3x$、$x=3y$ 交于原点 $(0,0)$。区域在 $y=3x$（上边界）与 $y=\frac{x}{3}$（下边界）之间，右侧被 $x+y=8$ 截断。

上边界在 $x=2$ 处从 $y=3x$ 切换到 $y=8-x$，故按 $x$ 分块：
$$D_1:0\le x\le 2,\frac{x}{3}\le y\le 3x;D_2:2\le x\le 6,\frac{x}{3}\le y\le 8-x.$$

于是
$${\iint }_D{x}^{2}dxdy={\int }_0^2{x}^2{\int }_{x/3}^{3x}dydx+{\int }_2^6{x}^2{\int }_{x/3}^{8-x}dydx={\int }_0^2{x}^2(3x-\frac{x}{3})dx+{\int }_2^6{x}^2(8-x-\frac{x}{3})dx.$$

计算两段：
$${\int }_0^2\frac{8}{3}{x}^{3}dx=\frac{8}{3}\cdot \frac{x^4}{4}{|}_0^2=\frac{8}{3}\cdot 4=\frac{32}{3};$$
$${\int }_2^6(8x^2-\frac{4}{3}{x}^3)dx=[\frac{8}{3}{x}^3-\frac{1}{3}{x}^4{]}_2^6=(576-432)-(\frac{64}{3}-\frac{16}{3})=144-16=128.$$
合计 $\frac{32}{3}+128=\frac{32+384}{3}=\frac{416}{3}$。

故 ${\iint }_D{x}^{2}dxdy=\frac{416}{3}$。