2013 年考研数学（二） 第 18 题

中值定理证明题，奇偶性常是「隐藏条件工厂」：奇函数送 $f(0)=0$、$f^{\prime }$ 偶（于是 $f^{\prime }(-\xi )=f^{\prime }(\xi )$）。第（Ⅰ）问纯拉格朗日。第（Ⅱ）问关键是辅助函数：把要证的 $f^{\prime \prime }+f^{\prime }=1$ 改写成 $[f^{\prime }-1{]}^{\prime }+[f^{\prime }-1]=0$，这是 $u^{\prime }+u=0$ 型，标准辅助函数是 $e^{x}u=e^x[f^{\prime }(x)-1]$。它在 $\pm \xi$ 处都为零，罗尔定理立刻给出 $\eta$。记住口诀：$f^{\prime }+kf$ 型配 $e^{kx}$。

本题考查中值定理与辅助函数的构造。 奇函数给出 $f(0)=0$ 及 $f^{\prime }$ 为偶函数这两条隐藏信息。

（Ⅰ） 因 $f$ 为奇函数，$f(-x)=-f(x)$，令 $x=0$ 得 $f(0)=0$。在 $[0,1]$ 上对 $f$ 用拉格朗日中值定理：存在 $\xi \in (0,1)$，使
$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{1-0}{1}=1.$$

（Ⅱ） 因 $f$ 为奇函数，其导数 $f^{\prime }$ 为偶函数，故 $f^{\prime }(-\xi )=f^{\prime }(\xi )=1$。即 $f^{\prime }$ 在 $-\xi$ 与 $\xi$ 两点取相同值 $1$。

构造辅助函数 $h(x)=[f^{\prime }(x)-1]e^x$。则
$$h(\xi )=[f^{\prime }(\xi )-1]e^{\xi }=0,h(-\xi )=[f^{\prime }(-\xi )-1]e^{-\xi }=0.$$
$h$ 在 $[-\xi ,\xi ]$ 上连续、可导，且两端相等（都为 $0$），由罗尔定理，存在 $\eta \in (-\xi ,\xi )\subset (-1,1)$，使 $h^{\prime }(\eta )=0$。

而 $h^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)e^x+[f^{\prime }(x)-1]e^x=[f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)-1]e^x$，且 $e^x\ne 0$，故由 $h^{\prime }(\eta )=0$ 得
$$f^{\prime \prime }(\eta )+f^{\prime }(\eta )-1=0,\text{即}{f}^{\prime \prime }(\eta )+f^{\prime }(\eta )=1.$$
证毕。