2013 年考研数学（二） 第 19 题

「曲线上到原点最远/最近」就是在约束下对 $x^2+y^2$ 求最值——拉格朗日乘数法。用平方 $d^2$ 避免根号。方程组常因对称（$x,y$ 地位对称）而有 $x=y$ 的驻点。但这是闭弧上有端点的问题，端点 $(1,0)\text{、}(0,1)$ 必须单独比较——很多人漏掉端点只算出 $\sqrt{2}$ 而丢掉最短距离 $1$。凡带端点/边界的最值，驻点值与端点值都要进候选名单。

本题考查条件极值（拉格朗日乘数法）与端点比较。 设曲线上一点 $M(x,y)$，到原点距离 $d=\sqrt{x^2+y^2}$，为方便对 $d^2=x^2+y^2$ 求条件极值，约束为 $g=x^3-xy+y^3-1=0$。

作拉格朗日函数 $F(x,y,\lambda )=x^2+y^2+\lambda (x^3-xy+y^3-1)$，令偏导为零：
$$\{\begin{array}{l}{F}_x=2x+\lambda (3x^2-y)=0,\\ F_y=2y+\lambda (3y^2-x)=0,\\ F_{\lambda }=x^3-xy+y^3-1=0.\end{array}$$

前两式相减并利用对称性可得 $x=y$。代入约束 $x^3-x^2+x^3=1$，即 $2x^3-x^2-1=0$，因式分解 $(x-1)(2x^2+x+1)=0$，在 $x\ge 0$ 下唯一实根 $x=1$，故驻点为 $(1,1)$，此处 $d(1,1)=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。

再考察区域端点。曲线与坐标轴的交点（$x\ge 0,y\ge 0$ 弧的端点）：令 $y=0$ 得 $x^3=1$，$x=1$，即 $(1,0)$；令 $x=0$ 得 $y^3=1$，$y=1$，即 $(0,1)$。两端点处 $d(1,0)=d(0,1)=1$。

比较所有候选：$d(1,1)=\sqrt{2}$，$d(1,0)=d(0,1)=1$。故曲线上的点到原点的最长距离为 $\sqrt{2}$，最短距离为 $1$。