2013 年考研数学（二） 第 22 题

矩阵方程 $AC-CA=B$ 未知的是 $C$ 的 4 个元素——把它「向量化」成 4 元线性方程组，问题就落回「解的存在性 + 通解」这套熟练流程。$a,b$ 的取值由相容性（系数矩阵秩 = 增广矩阵秩）决定：多出来的相容条件强制 $b=0$、$a=-1$。有解后自由度 = 未知数 − 秩 = 2，故通解含两个任意常数 $k_1,k_2$。看到「存在 $C$ 使…」先想相容条件，看到「求所有 $C$」就是求通解。

本题考查矩阵方程转化为线性方程组求解。 设 $C=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_3& x_4\end{array}\right)$，把 $AC-CA=B$ 化为关于 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 的线性方程组。

计算
$$AC=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_3& x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_1+a{x}_3& x_2+a{x}_4\\ x_1& x_2\end{array}\right),CA=\left(\begin{array}{cc}{x}_1+x_2& a{x}_1\\ x_3+x_4& a{x}_3\end{array}\right),$$
$$AC-CA=\left(\begin{array}{cc}-x_2+a{x}_3& -a{x}_1+x_2+a{x}_4\\ x_1-x_3-x_4& x_2-a{x}_3\end{array}\right).$$

令其等于 $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& b\end{array}\right)$，得方程组
$$\{\begin{array}{l}-x_2+a{x}_3=0,\\ -a{x}_1+x_2+a{x}_4=1,\\ x_1-x_3-x_4=1,\\ x_2-a{x}_3=b.\end{array}$$

对增广矩阵作行变换（第 1、4 两式：$-x_2+a{x}_3=0$ 与 $x_2-a{x}_3=b$，相加得 $0=b$），可知相容的必要条件是 $b=0$；进一步分析系数矩阵，得当 $a=-1,b=0$ 时方程组有解（此时秩相等）。

取 $a=-1,b=0$，方程组化为 $\{\begin{array}{l}{x}_2+x_3=0,\\ x_1+x_2-x_4=1,\\ x_1-x_3-x_4=1,\end{array}$ 独立方程为 2 个（后两式在 $x_2=-x_3$ 下等价），故解空间自由度为 2。取 $x_3=k_1,x_4=k_2$，则 $x_2=-k_1$，$x_1=1-x_2+x_4=1+k_1+k_2$。

故所有矩阵为
$$C=\left(\begin{array}{cc}{k}_1+k_2+1& -k_1\\ k_1& k_2\end{array}\right)(k_1,k_2\text{为任意常数}).$$