2013 年考研数学（二） 第 21 题

这类「$\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}\ln x$」曲线是弧长题的经典设计：$1+(y^{\prime }{)}^2$ 必是完全平方（$\frac{x^2-1}{2x}$ 与 $\frac{x^2+1}{2x}$ 仅差中间符号），开方无根号。第（Ⅱ）问形心横坐标 $\bar{x}=\frac{\int xydx}{\int ydx}$，把二重积分降为对 $x$ 的定积分即可，核心技术是 $\ln x$、$x\ln x$ 的分部积分。分子分母都保留 $e$ 的幂，最后约成 $\frac{3(e^4-2e^2-3)}{4(e^3-7)}$。

本题考查平面曲线弧长与平面图形形心（质心）的横坐标。

（Ⅰ） $y^{\prime }=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2x}=\frac{x^2-1}{2x}$。弧长微元
$$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx=\sqrt{1+(\frac{x^2-1}{2x}{)}^2}dx=\sqrt{(\frac{x^2+1}{2x}{)}^2}dx=\frac{x^2+1}{2x}dx,$$
其中用了 $1+(\frac{x^2-1}{2x}{)}^2=(\frac{x^2+1}{2x}{)}^2$（配成完全平方）。

于是
$$s={\int }_1^e\frac{x^2+1}{2x}dx=\frac{1}{2}{\int }_1^e(x+\frac{1}{x})dx=\frac{1}{2}[\frac{x^2}{2}+\ln x{]}_1^e=\frac{1}{2}[(\frac{e^2}{2}+1)-\frac{1}{2}]=\frac{e^2+1}{4}.$$

（Ⅱ） 形心横坐标 $\bar{x}=\frac{{\iint }_{D}xdxdy}{{\iint }_{D}dxdy}$。区域 $D$ 为 $1\le x\le e,0\le y\le \frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}\ln x$（在 $[1,e]$ 上被积高度 $y(x)\ge 0$）。

面积：
$$A={\iint }_{D}dxdy={\int }_1^e(\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}\ln x)dx=\frac{1}{4}{\int }_1^e(x^2-2\ln x)dx.$$
由 $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}$、$\int \ln xdx=x\ln x-x$，得 ${\int }_1^e(x^2-2\ln x)dx=[\frac{x^3}{3}-2(x\ln x-x){]}_1^e=(\frac{e^3}{3}-2)-(\frac{1}{3}-2)=\frac{e^3-1}{3}$。故 $A=\frac{1}{4}\cdot \frac{e^3-1}{3}$...

更精确地逐项算：${\int }_1^e{x}^{2}dx=\frac{e^3-1}{3}$，${\int }_1^e\ln xdx=[x\ln x-x{]}_1^e=(e-e)-(0-1)=1$，故 ${\int }_1^e(x^2-2\ln x)dx=\frac{e^3-1}{3}-2=\frac{e^3-7}{3}$，于是 $A=\frac{1}{4}\cdot \frac{e^3-7}{3}=\frac{e^3-7}{12}$。

$x$ 方向的矩：
$$M={\iint }_{D}xdxdy={\int }_1^{e}x(\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}\ln x)dx=\frac{1}{4}{\int }_1^e(x^3-2x\ln x)dx.$$
由 ${\int }_1^e{x}^{3}dx=\frac{e^4-1}{4}$、${\int }_1^{e}x\ln xdx=[\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}{]}_1^e=(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4})-(0-\frac{1}{4})=\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$，得
$${\int }_1^e(x^3-2x\ln x)dx=\frac{e^4-1}{4}-2\cdot \frac{e^2+1}{4}=\frac{e^4-2e^2-3}{4},M=\frac{1}{4}\cdot \frac{e^4-2e^2-3}{4}=\frac{e^4-2e^2-3}{16}.$$

故形心横坐标
$$\bar{x}=\frac{M}{A}=\frac{\frac{e^4-2e^2-3}{16}}{\frac{e^3-7}{12}}=\frac{3(e^4-2e^2-3)}{4(e^3-7)}.$$