2013 年考研数学（二） 第 23 题

二次型「平方和」形式配矩阵，靠 $({\alpha }^{T}X{)}^2=X^T\alpha {\alpha }^{T}X$ 这条恒等式，系数直接搬成 $\sum c_i{\alpha }_i{\alpha }_i^T$。第（Ⅱ）问不必解特征多项式：$\alpha {\alpha }^T$、$\beta {\beta }^T$ 是秩 1 投影型矩阵，正交单位条件让 $A\alpha =2\alpha$、$A\beta =\beta$ 一眼可见，再用秩 $\le 2$ 补出特征值 $0$。正交变换化标准形，标准形系数就是特征值，故得 $2y_1^2+y_2^2$。记住：$\alpha {\alpha }^T$ 型矩阵与其生成向量的作用极其干净，避免硬算行列式。

本题考查二次型的矩阵表示与正交变换化标准形（特征值法）。

（Ⅰ） 记 $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$。注意 $a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3={\alpha }^{T}X=X^T\alpha$，故 $(a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3{)}^2=(X^T\alpha )({\alpha }^{T}X)=X^T(\alpha {\alpha }^T)X$。同理 $(b_1{x}_1+b_2{x}_2+b_3{x}_3{)}^2=X^T(\beta {\beta }^T)X$。于是
$$f=2X^T(\alpha {\alpha }^T)X+X^T(\beta {\beta }^T)X=X^T(2\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T)X.$$
又 $2\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T$ 为对称矩阵（$(\alpha {\alpha }^T{)}^T=\alpha {\alpha }^T$），故它就是 $f$ 的矩阵。记 $A=2\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T$。

（Ⅱ） 设 $\alpha ,\beta$ 正交且为单位向量，即 ${\alpha }^T\alpha ={\beta }^T\beta =1$，${\alpha }^T\beta ={\beta }^T\alpha =0$。用 $A$ 直接作用于 $\alpha ,\beta$：
$$A\alpha =(2\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T)\alpha =2\alpha ({\alpha }^T\alpha )+\beta ({\beta }^T\alpha )=2\alpha ,$$
故 $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 ${\lambda }_1=2$ 的特征向量。

$$A\beta =(2\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T)\beta =2\alpha ({\alpha }^T\beta )+\beta ({\beta }^T\beta )=\beta ,$$
故 $\beta$ 是 $A$ 的属于特征值 ${\lambda }_2=1$ 的特征向量。

又 $r(A)=r(2\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T)\le r(2\alpha {\alpha }^T)+r(\beta {\beta }^T)=r(\alpha )+r(\beta )=1+1=2<3$，故 $A$ 不满秩，${\lambda }_3=0$ 也是 $A$ 的特征值。

$A$ 为实对称矩阵，其三个特征值为 $2,1,0$，由正交变换化标准形定理，存在正交变换 $X=QY$ 使
$$f=2y_1^2+1\cdot y_2^2+0\cdot y_3^2=2y_1^2+y_2^2.$$
证毕。