2010 年考研数学（二） 第 3 题

两曲线「相切」永远对应两组等式：值相等、导数相等，别只写一个。先用「导数相等」把 $a$ 用 $x_0$ 表示（$a=2x_0^2$），再代进「值相等」消元，就只剩关于 $x_0$ 的方程，解出 $x_0=\sqrt{\mathrm{e}}$ 后回代即得 $a=2\mathrm{e}$。

本题考查两曲线相切的条件（公切点处函数值相等且切线斜率相等）。

设切点横坐标为 $x_0>0$。相切要求两个条件：函数值相等 $x_0^2=a\ln x_0$；导数（斜率）相等 $2x_0=\frac{a}{x_0}$。

由斜率方程得 $a=2x_0^2$。代入函数值方程：$x_0^2=2x_0^2\ln x_0$，即 $1=2\ln x_0$，$\ln x_0=\frac{1}{2}$，$x_0={\mathrm{e}}^{1/2}=\sqrt{\mathrm{e}}$。

于是 $a=2x_0^2=2\mathrm{e}$。故应选 C。