2010 年考研数学（二） 第 2 题

这类「特解的线性组合仍是解」的题，核心就两条：系数和为 $1$ 时是非齐次解，系数和为 $0$ 时是齐次解（因为每代入一个特解都吐出一个 $q(x)$，组合后是「系数和 $\times q(x)$」）。本题给了两个条件 $\lambda +\mu =1$ 与 $\lambda -\mu =0$，直接联立即得。看到题中强调 $q(x)\not\equiv 0$ 的暗示，就该想到要比较 $q(x)$ 的系数。

本题考查一阶线性微分方程解的结构。 利用「特解的线性组合何时仍为非齐次解、何时为齐次解」的判据。

由 $y_1,y_2$ 是非齐次方程的解：$y_i^{\prime }+p(x)y_i=q(x)(i=1,2)$。

把 $\lambda y_1+\mu y_2$ 代入非齐次方程左端：
$$(\lambda y_1+\mu y_2{)}^{\prime }+p(x)(\lambda y_1+\mu y_2)=\lambda [y_1^{\prime }+p{y}_1]+\mu [y_2^{\prime }+p{y}_2]=(\lambda +\mu )q(x).$$
要使它等于 $q(x)$，因 $q(x)\not\equiv 0$，需 $\lambda +\mu =1$。

把 $\lambda y_1-\mu y_2$ 代入齐次方程左端：
$$=\lambda [y_1^{\prime }+p{y}_1]-\mu [y_2^{\prime }+p{y}_2]=(\lambda -\mu )q(x).$$
要使它等于 $0$，需 $\lambda -\mu =0$。

联立 $\lambda +\mu =1,\lambda -\mu =0$ 得 $\lambda =\mu =\frac{1}{2}$。故应选 A。