2010 年考研数学（二） 第 1 题

判断间断点个数别急着数分母零点，要「先找全、再分类」。本题三个候选点 $x=0,\pm 1$ 里：$x=1$ 因分子分母同含 $(x-1)$ 可约去（可去型），$x=0$ 因根式化出的 $|x|$ 使左右符号相反（跳跃型），真正让函数值爆破到无穷的只有 $x=-1$。凡含 $|x|$ 或 $\sqrt{\cdot }$ 的地方务必分左右极限讨论，这正是本题把 $x=0$ 藏成跳跃而非无穷的关键。

本题考查间断点的分类（无穷间断点的判定）。 先找出所有间断点，再逐一判断类型。

使分母为零或根式无意义的点为可能的间断点：$x^2-1=0$ 及 $x=0$，即 $x=0,x=1,x=-1$。为便于分析，注意 $\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}$，于是 $f(x)=\frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}=\frac{x}{|x|}\cdot \frac{\sqrt{1+x^2}}{x+1}$。

在 $x=1$：约去 $(x-1)$ 后 $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（有限），为可去间断点。

在 $x=0$：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1\cdot \frac{1}{1}=1$，$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=(-1)\cdot 1=-1$，左右极限均有限但不相等，为跳跃间断点。

在 $x=-1$：$\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\infty$（分母 $x+1\to 0$），为无穷间断点。

因此只有 $x=-1$ 为无穷间断点，共 $1$ 个。故应选 B。