2010 年考研数学（二） 第 4 题

含参数的瑕积分判敛，先「定瑕点、再估阶」。两个端点分别看：$x=0$ 端的阶是 $\frac{1}{n}-\frac{2}{m}$，因 $\frac{1}{n}\le 1$ 而 $\frac{2}{m}>0$，这个阶永远小于 $1$；$x=1$ 端因为「对数增长慢于任何幂」，阶可压到 $\frac{1}{2}$。既然两端收敛阶都被卡在 $<1$，与 $m,n$ 的具体值就完全无关——这正是选 D 的原因。看到「正整数 $m,n$」配「对数的分数次幂」，多半在暗示阶数被自动控制。

本题考查反常积分（瑕积分）收敛性的判别。 被积函数 $\frac{[\ln (1-x){]}^{2/m}}{x^{1/n}}$ 在 $x=0$ 与 $x=1$ 处均可能为瑕点，需分别判别，把积分拆成 ${\int }_0^{1/2}+{\int }_{1/2}^1$。

在 $x\to 0^{+}$：由 $\ln (1-x)\sim -x$，被积函数 $\sim \frac{x^{2/m}}{x^{1/n}}=\frac{1}{x^{1/n-2/m}}$，瑕点阶数 $\alpha =\frac{1}{n}-\frac{2}{m}$。因 $\frac{1}{n}\le 1$ 而 $\frac{2}{m}>0$，恒有 $\alpha <1$，故 ${\int }_0^{1/2}$ 收敛（与 $m,n$ 具体取值无关）。

在 $x\to 1^{-}$：令 $1-x=t\to 0^{+}$。因为对数的任意正次幂都比幂函数增长慢，有 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(1-x{)}^{1/2}\cdot \frac{[\ln (1-x){]}^{2/m}}{\sqrt[n]{x}}=0$，即可取瑕点阶数 $\alpha =\frac{1}{2}<1$，故 ${\int }_{1/2}^1$ 收敛（同样与 $m,n$ 无关）。

两段都收敛，故原反常积分恒收敛，其收敛性与 $m,n$ 的取值都无关。故应选 D。