2010 年考研数学（二） 第 5 题

齐次结构 $F(y/x,z/x)=0$ 求 $x{z}_x+y{z}_y$，标准做法是硬求两个偏导再组合，组合时 $\frac{y{F}_1^{\prime }}{F_2^{\prime }}$ 这一项会正好抵消，只剩 $z$。更快的看法是：这个结构意味着 $z$ 是 $(x,y)$ 的一次齐次函数，由欧拉定理直接有 $x{z}_x+y{z}_y=z$——认出齐次性就能秒选 B。

本题考查多元隐函数求偏导。 对确定方程两端分别关于 $x,y$ 求偏导，解出 $z_x,z_y$。记 $F_1^{\prime },F_2^{\prime }$ 为 $F$ 对第一、第二个变量的偏导。

对 $x$ 求偏导（注意 $\frac{\partial }{\partial x}\frac{y}{x}=-\frac{y}{x^2}$，$\frac{\partial }{\partial x}\frac{z}{x}=\frac{x{z}_x-z}{x^2}$）：
$$F_1^{\prime }\cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)+F_2^{\prime }\cdot \frac{x{z}_x-z}{x^2}=0\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x{F}_2^{\prime }}\left(y{F}_1^{\prime }+z{F}_2^{\prime }\right).$$

对 $y$ 求偏导：
$$F_1^{\prime }\cdot \frac{1}{x}+F_2^{\prime }\cdot \frac{z_y}{x}=0\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_1^{\prime }}{F_2^{\prime }}.$$

于是
$$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{F_2^{\prime }}\left(y{F}_1^{\prime }+z{F}_2^{\prime }\right)-\frac{y{F}_1^{\prime }}{F_2^{\prime }}=z.$$
故应选 B。