2010 年考研数学（二） 第 6 题

双重求和求极限，看到 $\frac{i}{n}$、$\frac{j}{n}$ 的结构就往「二重积分定义」上靠。关键动作是凑出 $\frac{1}{n^2}=\Delta x\Delta y$，剩下的因子就是被积函数 $f(\frac{i}{n},\frac{j}{n})$。本题 $i,j$ 相互独立、都跑遍 $1\sim n$，所以积分区域是正方形 $[0,1{]}^2$（上限都是 $1$，排除 A、B）；而 $j$ 以平方 $n^2+j^2$ 出现，对应 $1+y^2$（排除 C），故选 D。

本题考查用二重积分的定义求 $n\to \infty$ 的二重和式极限。

从通项中提出 $\frac{1}{n^2}$ 因子：
$$\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)\left[1+{\left(\frac{j}{n}\right)}^2\right]}.$$

取 $f(x,y)=\frac{1}{(1+x)(1+y^2)}$，区域 $D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$，分点 $x_i=\frac{i}{n},y_j=\frac{j}{n}$，则小矩形面积 $\Delta x\Delta y=\frac{1}{n^2}$。

由二重积分定义
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}f\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right)={\iint }_{D}fdxdy={\int }_0^{1}dx{\int }_0^1\frac{1}{(1+x)(1+y^2)}dy.$$
故应选 D。