2010 年考研数学（二） 第 7 题

这类题就用一条主线：可线性表示 $\Rightarrow$ 秩不增，即 $r(\text{I})\le r(\text{II})\le s$，再补一句「无关 $\iff$ 秩 = 个数」。只有当条件加在「被表示方」$\text{I}$ 上且是「无关」时，才能把 $r$ 顶成秩、串出 $r\le s$（选 A）。条件加在 $\text{II}$ 上（C、D）管不住 $r$，而「$\text{I}$ 相关」（B）只给出 $r(\text{I})<r$，都推不出结论。

本题考查向量组线性表示与秩的关系。

由 $\text{I}$ 可由 $\text{II}$ 线性表示，故 $r(\text{I})\le r(\text{II})$；又任何向量组的秩不超过其向量个数，故 $r(\text{II})\le s$。

若 $\text{I}$ 线性无关，则 $r(\text{I})=r$（秩等于向量个数），于是 $r=r(\text{I})\le r(\text{II})\le s$，即 $r\le s$。A 正确。

B 错：$\text{I}$ 线性相关只说明 $r(\text{I})<r$，推不出 $r>s$。C、D 的条件加在 $\text{II}$ 上，并不能反向控制 $r$ 与 $s$ 的大小（易举反例）。故应选 A。