2010 年考研数学（二） 第 8 题

由矩阵方程定特征值：把 $\mathbf{A}\mathbf{\xi }=\lambda \mathbf{\xi }$ 代入 ${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}=\mathbf{O}$，特征值就被锁在 ${\lambda }^2+\lambda =0$ 的根 $\{0,-1\}$ 里。再用两点定重数：实对称必可对角化（所以相似于对角阵），且秩为 $3$ 意味着零特征值恰好 $1$ 重（$4-r$），剩下三个只能是 $-1$。故选 D。关键是把「秩」翻译成「零特征值的重数」。

本题考查实对称矩阵的相似对角化，以及由矩阵方程确定特征值。

设 $\mathbf{A}\mathbf{\xi }=\lambda \mathbf{\xi }(\mathbf{\xi }\ne 0)$。由 ${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}=\mathbf{O}$ 得 $({\lambda }^2+\lambda )\mathbf{\xi }=0$，故 ${\lambda }^2+\lambda =0$，即 $\lambda =0$ 或 $\lambda =-1$。

$\mathbf{A}$ 为实对称矩阵，必可（正交）相似对角化，对角元即特征值。因 $r(\mathbf{A})=3$，零特征值的重数 $=4-r(\mathbf{A})=1$，故 $0$ 为单特征值。

于是 $-1$ 为三重特征值，$0$ 为单特征值，$\mathbf{A}\sim \mathrm{diag}(-1,-1,-1,0)$。故应选 D。