2010 年考研数学（二） 第 9 题

常系数齐次方程就是「特征方程配根型」。三次特征方程优先试分组分解，本题 ${\lambda }^2(\lambda -2)+(\lambda -2)$ 一眼提出 $(\lambda -2)$，剩下 ${\lambda }^2+1$ 给出纯虚根 $\pm i$。纯虚根对应 $\cos x,\sin x$（无指数因子，因实部为 $0$），单实根 $2$ 给 ${\mathrm{e}}^{2x}$，拼起来即通解。

本题考查常系数齐次线性微分方程的通解。 写出特征方程并求根。

特征方程 ${\lambda }^3-2{\lambda }^2+\lambda -2=0$。分组分解：${\lambda }^2(\lambda -2)+(\lambda -2)=(\lambda -2)({\lambda }^2+1)=0$。

得特征根 ${\lambda }_1=2$（单实根），${\lambda }_{2,3}=\pm i$（一对共轭复根，实部 $0$、虚部 $1$）。

对应通解为
$$y=C_1{\mathrm{e}}^{2x}+C_2\cos x+C_3\sin x(C_1,C_2,C_3\text{为任意常数}).$$