2010 年考研数学（二） 第 10 题

求渐近线按「铅直、水平、斜」三类逐一排查。分母 $x^2+1$ 没有实零点 $\Rightarrow$ 无铅直；分子次数比分母高 $\Rightarrow$ 无水平、可能有斜。套公式 $k=\lim y/x=2$、$b=\lim (y-2x)=0$。其实做多项式除法 $\frac{2x^3}{x^2+1}=2x-\frac{2x}{x^2+1}$，余项趋于 $0$，直接读出渐近线 $y=2x$。

本题考查曲线渐近线的求法。 分母 $x^2+1>0$ 恒成立、无实零点，故无铅直渐近线；又 $x\to \infty$ 时 $y\to \infty$，无水平渐近线，只需求斜渐近线 $y=kx+b$。

$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2+1}=2$。

$b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y-2x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{2x^3}{x^2+1}-2x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-2x}{x^2+1}=0$。

故所求渐近线为 $y=2x$（$x\to +\infty$ 与 $x\to -\infty$ 相同）。