2010 年考研数学（二） 第 11 题

求某点的 $n$ 阶导数有两条路：逐次求导找通式，或「泰勒系数 $\times n!$」。本题 $\ln (1-2x)$ 用现成的 $\ln (1+u)$ 麦克劳林级数最快——令 $u=-2x$，$x^n$ 系数是 $-\frac{2^n}{n}$，乘以 $n!$ 立得 $-2^n(n-1)!$。注意 $\frac{n!}{n}=(n-1)!$ 这一步别错。

本题考查高阶导数在一点的值。 可用逐次求导归纳，或麦克劳林展开对比系数。

方法一（归纳）：$y^{\prime }=\frac{-2}{1-2x}$，$y^{\prime \prime }=\frac{-2^2}{(1-2x{)}^2}$，$y^{\prime \prime \prime }=\frac{-2^3\cdot 2!}{(1-2x{)}^3}$，……，归纳得 $y^{(n)}=\frac{-2^n(n-1)!}{(1-2x{)}^n}$，于是 $y^{(n)}(0)=-2^n(n-1)!$。

方法二（麦克劳林）：由 $\ln (1+u)=\sum _{k\ge 1}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}{u}^k$，取 $u=-2x$ 得 $\ln (1-2x)=-\sum _{k\ge 1}\frac{2^k}{k}{x}^k$，其 $x^n$ 项系数为 $-\frac{2^n}{n}$。又该系数 $=\frac{y^{(n)}(0)}{n!}$，故 $y^{(n)}(0)=-\frac{2^n}{n}\cdot n!=-2^n(n-1)!$。