2010 年考研数学（二） 第 12 题

极坐标弧长记牢 $\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}d\theta$。对数螺线 $r={\mathrm{e}}^{\theta }$ 特别友好：$r^{\prime }=r$，于是根号里是 $2{\mathrm{e}}^{2\theta }$，开出 $\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\theta }$，积分即 $\sqrt{2}({\mathrm{e}}^{\pi }-1)$。凡 $r={\mathrm{e}}^{a\theta }$ 型都有 $\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}=\sqrt{1+a^2}{\mathrm{e}}^{a\theta }$ 的简洁结构。

本题考查极坐标下曲线弧长的计算。 公式 $s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}d\theta$。

由 $r={\mathrm{e}}^{\theta }$ 得 $r^{\prime }={\mathrm{e}}^{\theta }$，故 $\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}=\sqrt{{\mathrm{e}}^{2\theta }+{\mathrm{e}}^{2\theta }}=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\theta }$。

于是
$$s={\int }_0^{\pi }\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\theta }d\theta =\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\theta }{|}_0^{\pi }=\sqrt{2}\left({\mathrm{e}}^{\pi }-1\right).$$