2010 年考研数学（二） 第 13 题

相关变化率的套路：先写出量之间的静态关系（这里 $z=\sqrt{l^2+w^2}$），再整体对时间 $t$ 求导，把各自的变化率代进去。$12,5,13$ 是熟悉的勾股数，算出 $\frac{dz}{dt}=\frac{12\cdot 2+5\cdot 3}{13}=3$。别忘了 $l,w$ 是随 $t$ 变化的，求导要带 $\frac{dl}{dt},\frac{dw}{dt}$。

本题考查相关变化率。 对角线长 $z=\sqrt{l^2+w^2}$，其中 $l,w$ 都是时间 $t$ 的函数，已知 $\frac{dl}{dt}=2,\frac{dw}{dt}=3$。

两端对 $t$ 求导（链式法则）：
$$\frac{dz}{dt}=\frac{l\frac{dl}{dt}+w\frac{dw}{dt}}{\sqrt{l^2+w^2}}.$$

代入 $l=12,w=5$（注意 $\sqrt{12^2+5^2}=13$）：
$$\frac{dz}{dt}=\frac{12\times 2+5\times 3}{13}=\frac{24+15}{13}=\frac{39}{13}=3.$$
即对角线增加的速率为 $3cm/s$。