2010 年考研数学（二） 第 14 题

这类「两个矩阵之和的行列式」靠因式分解成乘积。诀窍是从左提 ${\mathbf{B}}^{-1}$、从右提 $\mathbf{A}$：$\mathbf{A}+{\mathbf{B}}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}(\mathbf{B}+{\mathbf{A}}^{-1})\mathbf{A}$，中间恰好凑出题给的 ${\mathbf{A}}^{-1}+\mathbf{B}$。再用行列式乘积性质，把 $|\mathbf{A}|,|\mathbf{B}|$ 代进去即得 $\frac{|\mathbf{A}|}{|\mathbf{B}|}|{\mathbf{A}}^{-1}+\mathbf{B}|=3$。

本题考查行列式的乘积性质与提取公因子的技巧。

关键恒等式：$\mathbf{A}+{\mathbf{B}}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}(\mathbf{B}+{\mathbf{A}}^{-1})\mathbf{A}$。（因 ${\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{A}$，${\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}={\mathbf{B}}^{-1}$。）

两端取行列式：
$$|\mathbf{A}+{\mathbf{B}}^{-1}|=|{\mathbf{B}}^{-1}|\cdot |\mathbf{B}+{\mathbf{A}}^{-1}|\cdot |\mathbf{A}|=\frac{|\mathbf{A}|}{|\mathbf{B}|}\cdot |{\mathbf{A}}^{-1}+\mathbf{B}|.$$

代入数据：$=\frac{3}{2}\times 2=3$。故 $|\mathbf{A}+{\mathbf{B}}^{-1}|=3$。