2010 年考研数学（二） 第 15 题

变限积分求导有个「先剥离再求导」的习惯：把被积函数里含 $x$ 的因子（这里 $x^2$）提到积分号外，避免上限与被积函数同时含 $x$ 造成的混乱。求完导会发现乘积法则的两项奇迹般抵消，只剩 $f^{\prime }(x)=2x{\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}dt$。判号窍门是把 ${\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}dt$ 当作「以 $1$ 为界」的符号量（上限 $x^2$ 比 $1$ 大就正、小就负），乘上 $2x$ 得到四段增减，$x=\pm 1$ 取极小、$x=0$ 取极大。

本题考查变限积分函数的求导及单调性、极值的判定。 先把被积函数中含 $x$ 的因子提到积分号外，再求导。

拆项：$f(x)=x^2{\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}dt-{\int }_1^{x^2}t{\mathrm{e}}^{-t^2}dt$。求导（对第一项用乘积法则，上限 $x^2$ 求导要乘 $2x$）：
$$f^{\prime }(x)=2x{\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}dt+x^2\cdot {\mathrm{e}}^{-x^4}\cdot 2x-x^2{\mathrm{e}}^{-x^4}\cdot 2x=2x{\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}dt,$$
后两项恰好抵消。

令 $f^{\prime }(x)=0$：$x=0$，或 ${\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}dt=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$。故驻点为 $x=-1,0,1$。

记 $g(x)={\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}dt$：当 $x^2<1$ 时 $g<0$，当 $x^2>1$ 时 $g>0$。结合 $f^{\prime }(x)=2xg(x)$ 的符号：

- $x\in (-\infty ,-1)$：$2x<0,g>0\Rightarrow f^{\prime }<0$，减；
- $x\in (-1,0)$：$2x<0,g<0\Rightarrow f^{\prime }>0$，增；
- $x\in (0,1)$：$2x>0,g<0\Rightarrow f^{\prime }<0$，减；
- $x\in (1,+\infty )$：$2x>0,g>0\Rightarrow f^{\prime }>0$，增。

故单调增区间为 $(-1,0)$ 与 $(1,+\infty )$，单调减区间为 $(-\infty ,-1)$ 与 $(0,1)$。

极值：$x=\pm 1$ 处 $f^{\prime }$ 由负变正，取极小值 $f(\pm 1)={\int }_1^1(\cdots )dt=0$；$x=0$ 处 $f^{\prime }$ 由正变负，取极大值
$$f(0)={\int }_1^0(0-t){\mathrm{e}}^{-t^2}dt={\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{-t^2}dt=[-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-t^2}{]}_0^1=\frac{1}{2}\left(1-{\mathrm{e}}^{-1}\right).$$