2010 年考研数学（二） 第 16 题

第一问是「给积分排序」，只需给被积函数排序——用熟知的 $\ln (1+t)\le t$，注意 $t\in (0,1)$ 时底数非负才能放心开 $n$ 次方并保号，乘上非负的 $|\ln t|$ 再积分即可。第二问顺理成章：把上界 ${\int }_0^1{t}^n|\ln t|dt$ 算出来是 $\frac{1}{(n+1{)}^2}$，下界是 $0$，一夹极限就是 $0$。这是「比较 + 夹逼」的经典配合，第一问其实是给第二问搭台阶。

本题考查定积分的比较性质与用夹逼准则求极限。

（Ⅰ） 当 $0\le t\le 1$ 时有 $\ln (1+t)\le t$。而 $t\in (0,1)$ 时 $\ln (1+t)\ge 0$，两非负数保序开 $n$ 次方得 $[\ln (1+t){]}^n\le t^n$。再同乘非负的 $|\ln t|$ 并在 $[0,1]$ 上积分，得
$${\int }_0^1|\ln t|[\ln (1+t){]}^{n}dt\le {\int }_0^1{t}^n|\ln t|dt.$$

（Ⅱ） 由（Ⅰ）及被积函数非负，$0\le u_n\le {\int }_0^1{t}^n|\ln t|dt$。

计算右端（在 $(0,1)$ 上 $|\ln t|=-\ln t$），用分部积分：
$${\int }_0^1{t}^n(-\ln t)dt=-\frac{1}{n+1}{\int }_0^1\ln td(t^{n+1})=-\frac{1}{n+1}[t^{n+1}\ln t{|}_0^1-{\int }_0^1{t}^{n}dt]=\frac{1}{(n+1{)}^2},$$
其中 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^{n+1}\ln t=0$。

于是 $0\le u_n\le \frac{1}{(n+1{)}^2}\to 0$，由夹逼准则得 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$。