2010 年考研数学（二） 第 17 题

这是「参数方程求导 + 解微分方程」的两段式。第一段照公式把 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ 用 ${\psi }^{\prime },{\psi }^{\prime \prime }$ 表示，令它等于已知式，得到关于 ${\psi }^{\prime }$ 的一阶线性方程。第二段解方程：识别出左边能凑成 $\frac{d}{dt}\left(\frac{{\psi }^{\prime }}{1+t}\right)$ 会让积分特别干净。全程有两个待定常数，正好用两个初值 ${\psi }^{\prime }(1)=6$、$\psi (1)=\frac{5}{2}$ 逐个定掉。

本题是参数方程求导与微分方程的综合题。 先用参数方程二阶导公式建立关于 $\psi$ 的微分方程，再求解。

一阶导：$\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{2+2t}$。

二阶导：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{x^{\prime }(t)}=\frac{\frac{(2+2t){\psi }^{\prime \prime }(t)-2{\psi }^{\prime }(t)}{(2+2t{)}^2}}{2+2t}=\frac{(1+t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t)}{4(1+t{)}^3}.$$

令其等于已知 $\frac{3}{4(1+t)}$，得 $\frac{(1+t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t)}{(1+t{)}^2}=3$，即 ${\psi }^{\prime \prime }(t)-\frac{1}{1+t}{\psi }^{\prime }(t)=3(1+t)$。

这是关于 ${\psi }^{\prime }(t)$ 的一阶线性微分方程。注意左端 $=(1+t)\frac{d}{dt}\left[\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{1+t}\right]$，故 $\frac{d}{dt}\left[\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{1+t}\right]=3$，积分得 $\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{1+t}=3t+C_1$，即 ${\psi }^{\prime }(t)=(3t+C_1)(1+t)$。

由 ${\psi }^{\prime }(1)=6$：$(3+C_1)\cdot 2=6\Rightarrow C_1=0$，故 ${\psi }^{\prime }(t)=3t(1+t)=3t+3t^2$。

积分：$\psi (t)=\frac{3}{2}{t}^2+t^3+C_2$。由 $\psi (1)=\frac{5}{2}$：$\frac{3}{2}+1+C_2=\frac{5}{2}\Rightarrow C_2=0$。故 $\psi (t)=\frac{3}{2}{t}^2+t^3$。