2010 年考研数学（二） 第 18 题

卧放贮油罐求油量，核心是把三维问题压成二维「截面面积」，因为柱体体积 = 截面积 × 长。难点只在算椭圆被水平线 $y=\frac{b}{2}$ 切下的那块面积，技巧是「下半椭圆（现成的 $\frac{1}{2}\pi ab$）+ 中间横条积分」，横条用 $y=b\sin u$ 三角代换把 $\sqrt{b^2-y^2}$ 化掉。最后别忘了乘长度 $l$ 和密度 $\rho$。

本题考查定积分的几何应用（求平面区域面积）与「质量 = 密度 × 体积」。 油罐平放，横截面为椭圆，油的体积 = 油的截面积 × 罐长 $l$。

建立坐标系使椭圆为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，中心在原点，$x$ 轴水平、$y$ 轴竖直。椭圆最低点为 $y=-b$，油面高度 $\frac{3}{2}b$ 意味着油面在 $y=-b+\frac{3}{2}b=\frac{b}{2}$ 处，即油充满椭圆内 $y\le \frac{b}{2}$ 的部分。

油的截面积 $S=$（$x$ 轴下方半椭圆面积 $S_1$）$+$（$0\le y\le \frac{b}{2}$ 的阴影面积 $S_2$），其中 $S_1=\frac{1}{2}\pi ab$。

求 $S_2$：在高度 $y$ 处椭圆内水平宽度为 $2|x|=2a\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}$，故 $d{S}_2=\frac{2a}{b}\sqrt{b^2-y^2}dy$，
$$S_2={\int }_0^{b/2}\frac{2a}{b}\sqrt{b^2-y^2}dy\stackrel{y=b\sin u}{=}2ab{\int }_0^{\pi /6}{\cos }^{2}udu=ab{\int }_0^{\pi /6}(1+\cos 2u)du=ab\left(\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right).$$

于是截面积 $S=S_1+S_2=\frac{1}{2}\pi ab+ab\left(\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\left(\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)ab$。

体积 $V=Sl=\left(\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)abl$，故油的质量
$$m=\rho V=\left(\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)abl\rho .$$