2010 年考研数学（二） 第 19 题

变量替换化简 PDE，本质是「链式法则算系数、再令不想要的项消失」。因为 $\xi ,\eta$ 关于 $x,y$ 都是线性的，各二阶偏导系数是常数；代回后 $u_{\xi \xi }$ 和 $u_{\eta \eta }$ 的系数恰好是同一个二次式 $5s^2+12s+4$（$s=a$ 或 $b$）。要只剩混合项，就让这两个系数为零 $\Rightarrow a,b$ 是该二次方程的两根；又要混合项系数不为零 $\Rightarrow a\ne b$，于是两根分配给 $a,b$ 有两种对称取法。

本题考查含变量替换的多元复合函数二阶偏导数计算。 把 $u$ 视为 $\xi ,\eta$ 的函数，$\xi =x+ay,\eta =x+by$，用链式法则算出各二阶偏导并代回原方程。

一阶偏导：$u_x=u_{\xi }+u_{\eta }$，$u_y=a{u}_{\xi }+b{u}_{\eta }$。

二阶偏导：
$$u_{xx}=u_{\xi \xi }+2u_{\xi \eta }+u_{\eta \eta },$$
$$u_{xy}=a{u}_{\xi \xi }+(a+b)u_{\xi \eta }+b{u}_{\eta \eta },$$
$$u_{yy}=a^2{u}_{\xi \xi }+2ab{u}_{\xi \eta }+b^2{u}_{\eta \eta }.$$

代入 $4u_{xx}+12u_{xy}+5u_{yy}=0$，按二阶偏导归并系数：
$$(5a^2+12a+4)u_{\xi \xi }+[10ab+12(a+b)+8]u_{\xi \eta }+(5b^2+12b+4)u_{\eta \eta }=0.$$

要化为 $u_{\xi \eta }=0$，需 $u_{\xi \xi }$、$u_{\eta \eta }$ 的系数为 $0$ 而 $u_{\xi \eta }$ 的系数非 $0$：
$$\{\begin{array}{l}5a^2+12a+4=0,\\ 5b^2+12b+4=0,\\ 10ab+12(a+b)+8\ne 0.\end{array}$$

由 $5s^2+12s+4=0$ 解得 $s=-2$ 或 $s=-\frac{2}{5}$，故 $a,b$ 各取其一。要使交叉项系数非零须 $a\ne b$，故 $a=-2,b=-\frac{2}{5}$ 或 $a=-\frac{2}{5},b=-2$（此时 $10ab+12(a+b)+8=-\frac{64}{5}\ne 0$）。