2010 年考研数学（二） 第 20 题

看到 $\sqrt{1-r^2\cos 2\theta }$ 里 $r^2\cos 2\theta$ 这种组合，要立刻联想 $r^2\cos 2\theta =x^2-y^2$——这是「该回直角坐标」的提示。注意题目写的 $drd\theta$ 要连同一个 $r$ 拼成面积元 $rdrd\theta =dxdy$，于是被积式干净地变成 $y\sqrt{1-x^2+y^2}$。区域 $r\le \sec \theta$ 就是竖线 $x\le 1$。之后先对 $y$ 积（$ydy$ 天然凑 $d(y^2)$），末尾 ${\int }_0^1(1-x^2{)}^{3/2}dx$ 用三角代换配华里士公式即可。

本题考查二重积分的计算。 虽以极坐标形式给出，但被积函数与区域都更适合直角坐标，故先化为直角坐标再累次积分。

注意 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，则 $r^2\cos 2\theta =r^2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )=x^2-y^2$，$r\sin \theta =y$，且面积元 $dxdy=rdrd\theta$，故
$$r^2\sin \theta \sqrt{1-r^2\cos 2\theta }drd\theta =\left(r\sin \theta \right)\sqrt{1-r^2\cos 2\theta }\cdot rdrd\theta =y\sqrt{1-x^2+y^2}dxdy.$$

区域 $0\le r\le \sec \theta$ 即 $r\cos \theta \le 1$，即 $x\le 1$；$0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$ 即 $0\le y\le x$。故 $D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le x\}$（顶点 $(0,0),(1,0),(1,1)$ 的三角形）。

于是 $I={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x}y\sqrt{1-x^2+y^2}dy$。内层积分（凑微分 $d(y^2)$）：
$${\int }_0^{x}y\sqrt{1-x^2+y^2}dy=\frac{1}{2}{\int }_0^x\sqrt{1-x^2+y^2}d(y^2)=\frac{1}{3}[(1-x^2+y^2{)}^{3/2}{]}_0^x=\frac{1}{3}[1-(1-x^2{)}^{3/2}].$$

故 $I=\frac{1}{3}{\int }_0^1[1-(1-x^2{)}^{3/2}]dx=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{\int }_0^1(1-x^2{)}^{3/2}dx$。令 $x=\sin t$：
$${\int }_0^1(1-x^2{)}^{3/2}dx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{4}tdt=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{16}.$$

于是 $I=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{3\pi }{16}=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{16}$。