2010 年考研数学（二） 第 21 题

要证「$f^{\prime }(\xi )+f^{\prime }(\eta )=$ 某式」且 $\xi ,\eta$ 分处 $\frac{1}{2}$ 两侧，标准手法是找一个辅助函数在两个相邻小区间各用一次拉格朗日。构造辅助函数看结论：把 $f^{\prime }(x)-x^2$ 反导出 $F(x)=f(x)-\frac{x^3}{3}$。妙在 $F(0)=F(1)=0$，两个小区间的中值等式相加时 $F(\frac{1}{2})$ 正好抵消，只剩要证的等式。以 $\frac{1}{2}$ 为分点正是因为 $\xi ,\eta$ 被指定在其两侧。

本题考查微分中值定理（拉格朗日）的应用与辅助函数的构造。 把目标式改写为 $[f^{\prime }(\xi )-{\xi }^2]+[f^{\prime }(\eta )-{\eta }^2]=0$，提示辅助函数取 $F(x)=f(x)-\frac{x^3}{3}$（其导数 $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x^2$）。

令 $F(x)=f(x)-\frac{x^3}{3}$，则 $F$ 在 $[0,1]$ 上连续、在 $(0,1)$ 内可导，且
$$F(0)=f(0)-0=0,F(1)=f(1)-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0.$$

在 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ 上对 $F$ 用拉格朗日中值定理：存在 $\xi \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$，使 $F\left(\frac{1}{2}\right)-F(0)=\frac{1}{2}{F}^{\prime }(\xi )$，即 $F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}[f^{\prime }(\xi )-{\xi }^2]$。

在 $\left[\frac{1}{2},1\right]$ 上对 $F$ 用拉格朗日中值定理：存在 $\eta \in \left(\frac{1}{2},1\right)$，使 $F(1)-F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}{F}^{\prime }(\eta )$，即 $-F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}[f^{\prime }(\eta )-{\eta }^2]$。

两式相加：$0=\frac{1}{2}[f^{\prime }(\xi )+f^{\prime }(\eta )-{\xi }^2-{\eta }^2]$，故 $f^{\prime }(\xi )+f^{\prime }(\eta )={\xi }^2+{\eta }^2$。证毕。