2010 年考研数学（二） 第 22 题

非齐次方程组「有两个不同解」是强信号——立刻翻译成「无穷多解」，进而 $|\mathbf{A}|=0$ 且 $r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})<n$。先用行列式为零锁定 $\lambda$，再逐个代回：$\lambda =1$ 那支会冒出矛盾行 $0=1$（无解）被淘汰，只有 $\lambda =-1$ 通过、并顺带用相容性条件定出 $a=-2$。最后老老实实行最简，读出「特解 + 基础解系」。

本题考查非齐次线性方程组解的判定与通解结构。

（Ⅰ） 方程组有两个不同解 $\Rightarrow$ 有无穷多解 $\Rightarrow r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})<3$，故 $|\mathbf{A}|=0$。
$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 0& \lambda -1& 0\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right|=(\lambda -1)\left|\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 1& \lambda \end{array}\right|=(\lambda -1)({\lambda }^2-1)=(\lambda +1)(\lambda -1{)}^2=0,$$
得 $\lambda =-1$ 或 $\lambda =1$。

当 $\lambda =1$：$\overline{\mathbf{A}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& a\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$，第二行给出矛盾 $0=1$，$r(\mathbf{A})=1\ne r(\overline{\mathbf{A}})=2$，无解，舍去。

当 $\lambda =-1$：对 $\overline{\mathbf{A}}=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& a\\ 0& -2& 0& 1\\ 1& 1& -1& 1\end{array}\right)$ 作行变换化为 $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ 0& 2& 0& -1\\ 0& 0& 0& a+2\end{array}\right)$。要有解需 $r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})$，即 $a+2=0$，$a=-2$。故 $\lambda =-1,a=-2$。

（Ⅱ） 取 $\lambda =-1,a=-2$，把增广矩阵化成行最简：
$$\overline{\mathbf{A}}\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& \frac{3}{2}\\ 0& 1& 0& -\frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
导出组 $x_1=x_3,x_2=0$，基础解系为 $(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$；取 $x_3=0$ 得特解 ${\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2},0\right)}^{\mathrm{T}}$。

故通解为 $\mathbf{x}=k\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)$（$k$ 为任意常数）。